sábado, 24 de octubre de 2020

Funciones, lineales y cuadráticas

                   ¿Qué es una función?

                  Aquí os dejo un vídeo

Funciones

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

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Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

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Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

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El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

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La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

  • 1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

  • 2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

  • 3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

  • 4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

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La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

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También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

                          Si  x = 0, se tiene que  f (0) = 2(0) – 1 = - 1

                          Si  x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos  son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente.

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Función polinómica

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El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

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Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

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F(x) = x2  representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

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Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función  de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma  f(x) = xr, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y  h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

     La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

     La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.

     La función es: f (x) = x/2 - 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

     La función es: f (x) = (x - 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

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Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas  y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área  A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

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Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

 

3) Dada la función  f(x) = 5x2 + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función  f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para  x = 2

                                            F (2) = 5(2)2  + 2

                                            F (2) = 22

Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que  f (2) = 22.

Ejemplo:

  El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.

  • a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

  • b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50  entonces

 F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25

Hay que pagar 25 dólares.

c) f (x) = 53  entonces

15 + 0,2x = 53 entonces x = 190

Se han recorrido 190 km.

Álgebra de funciones

Suma, resta, multiplicación y división de funciones

Sean f y g dos funciones cualesquiera.

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Ejemplos:

Suma de funciones

Sean las funciones

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lunes, 13 de noviembre de 2017

Formula maximo comun divisor

¿Qué es el Máximo Común Divisor (MCD)?
Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números.
Términos:
  • Divisor: El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.
Vamos a ver un ejemplo de esto:
divisores de 15 y de 20
Vamos a calcular los divisores de 15:
15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de 15.
15 / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de 15.
15 / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de 15.
15 / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es divisor de 15.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15.
Ahora vamos a calcular los divisores de 20.
20 / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de 20.
20 / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de 20.
20 / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de 20.
20 / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20.
  • Divisor Común: Es un número que es divisor a la vez de dos o más números, es decir, es un divisor común a esos números.
Si seguimos con el ejemplo anterior, en el que hemos calculado los divisores de 15 y de 20, ahora vamos a ver cuales son los divisores comunes.
Y en este caso, los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5.
  • Máximo Común Divisor: Es el número más grande de los divisores comunes.
Por lo que si seguimos con el ejemplo anterior, el Máximo Común Divisor de 15 y 20 es 5.
¿Cómo encontrar el Máximo Común Divisor?
Vamos a ver diferentes métodos para encontrar el MCD.
  • Método 1: Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes. El divisor mayor será el MCD de esos números. Este método es el que ya hemos explicado antes.
  • Método 2: Descomponemos cada número en factores primos. Después, señalamos los factores comunes. A continuación, escogemos el factor con menor exponente. Y por ultimo, multiplicamos los factores elegidos.
Vamos a ver un ejemplo:
Calculamos el M.C.D de 8 y 12.
mcd de 8 y 12
Si quieres ver el tutorial completo sobre el Máximo Común Divisor pulsa en el enlace.
Además, puedes acceder a nuestros ejercicios de Máximo Común Divisor (MCD) online, en los siguientes enlaces.
¡Anímate a practicarlos de una forma divertida!

Formula minimo común múltiplo

Mínimo Común Multiplo (M.C.M.)

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números debemos de descomponer el número en factores primos.
Por ejemplo:
Buscaremos en mínmo común multiplo de 40 y 60.
1. Descomponemos en factores primos el 40:
foto
En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.
Por lo tando 40 se descompone en:
foto
2. Una vez descompuesto el 40, haremos lo mismo con el 60.
foto
Por lo tanto 60 se descompone en:
foto
3. Para hallar el mínimo común divisor (mcd) de 40 y 60, para ello, tenemos que coger los comunes y no comunes al mayor exponente.
Por lo que se quedaria:
mcm (40 y 60)= 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
Por lo que el mínimo común multiplo de 40 y 60 sería 120.
¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de factores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando

Raiz cuadrada

Raíz cuadrada 
Cantidad que tomada dos veces como factor da una cantidad determinada.

"la raíz cuadrada de 144 es 12"
"la raiz cuadrada de 25 es 5"
"la raiz cuadrada de 36 es 6"

Potencias


Potencia de un número:                                                     (Espero que os ayude)
Resultado de imagen de 5 elevado a 3



























Potencias de 10:


Resultado de imagen de potencias de diez


sábado, 23 de mayo de 2015

Llena la ucha                                                                     Que precio falta

lunes, 2 de marzo de 2015

poligono de 56.645

pentakismyriohexakisquilioletracosiohexacon
tapentagonalises un poligono de 

tantos lados que lo tienes que dibujar minimo


 3 hojas(o mas)

 increible verdad